Question

下列說法中，正確的是（ ）
①對于定義域為R的函數(shù)f（x），若函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），則函數(shù)f（x）的圖象關于x=1對稱；
②當a＞1時，任取x∈R都有a^x＞a^-x；
③“a=1”是“函數(shù)f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增”的充分必要條件；
④設a∈{-1，1，，3}，則使函數(shù)y=x^a的定義域為R且該函數(shù)為奇函數(shù)的所有a的值為1，3；
⑤已知a是函數(shù)f（x）=2^x-log_0.5x的零點，若0＜x＜a，則f（x）＜0．
A．①④
B．①④⑤
C．②③④
D．①⑤

Answer 1

【答案】分析：對①根據(jù)條件f（x+1）=f（1-x）與f（x）=f（2-x）等同，利用點關于直線的對稱點在函數(shù)圖象上來判斷函數(shù)圖象的對稱性；
對②x 與-x的大小不確定，可判斷；根據(jù)函數(shù)f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增的條件，可判斷③是否正確；
對④根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可求出符合條件的指數(shù)；
對⑤根據(jù)函數(shù)y=2^x，y=的單調(diào)性確定f（x）=2^x-log_0.5x的單調(diào)性，來判斷⑤是否正確．
解答：解：∵f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），∴f（a）=f（2-a），設M（a、b）是函數(shù)上的任一點，M關于x=1的對稱點N（2-a，b）也在函數(shù)圖象上，∴f（x）的圖象關于x=1直線對稱，①正確；
∵a＞1，y=a^x為增函數(shù)，x與-x大小不定，∴②不正確；
∵a＞0 時函數(shù)f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴是充分不必要條件，故③不正確；
∵a=-1時定義域為{x|x≠0，x∈R}，a= 時定義域是x≥0，a=1或3時，定義域為R且該函數(shù)為奇函數(shù)，故④正確；
∵f（a）=2^a-=0，∵y=2^x為增函數(shù)，y=為減函數(shù)，∴f（x）=2^x-log_0.5x為增函數(shù)，∴0＜x＜a，f（x）＜f（a）=0，故⑤正確；
故答案是①④⑤
點評：本題考查了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應用；特別注意可用點關于直線的對稱點在函數(shù)圖象上來判斷和證明函數(shù)圖象的對稱性．這是證明函數(shù)圖象對稱性的常用方法．