Question

已知數列{a_n}滿足：a_n=，其中k∈N．記{a_n}的前n項和為S_n定義數列{b_n}滿足：b_n=S_2ⁿ．
（I）求S₁₀的值；
（Ⅱ）證明：++…+＜1（n∈N）．

Answer 1

解：（I）因為a_n=，
所以前10項分別為1，1，3，1，5，3，7，1，9，5
所以S₁₀=36
（II）b_n=S_2ⁿ=（a₂+a₄+…+）+（a₁+a₃+…+）
=（a₁+a₂+a₃+…+）+4^n-1
即b_n=b_n-1+4^n-1
即b_n-b_n-1=4^n-1
∴b₂-b₁=4
b₃-b₂=4²
…
b_n-b_n-1=4^n-1
相加得
∴

∴++…+
分析：（I）因為a_n=，寫出數列{a_n}前10項得到S₁₀=36．
（II）因為b_n=S_2ⁿ=（a₂+a₄+…+）+（a₁+a₃+…+）利用等差數列的前n項和公式化簡為b_n=b_n-1+4^n-1，利用逐差相加法求出得到，通過放縮法得到++…+＜1（n∈N）．
點評：求數列的前n項和時，應該先求出數列的通項，然后根據通項的特點選擇合適的求和方法．