Question

記函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f^（1）（x），f^（1）（x）的導(dǎo)數(shù)為f^（2）（x），…，f^（n-1）（x）的導(dǎo)數(shù)為f^（n）（x）（n∈N^*）．若f（x）可進(jìn)行n次求導(dǎo)，則f（x）均可近似表示為：

f(x)≈f(0)+ f(1)(0) 1! x+ f(2)(0) 2! x2+ f(3)(0) 3! x3+…+ f(n)(0) n! xn

若取n=4，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，則可近似估計(jì)自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e≈

65

24

（用分?jǐn)?shù)表示）（注：n!=n×（n-1）×…×2×1）

Answer 1

分析：令f（x）=e^x，由已知，將f（x）近似表示為f（0）+x+

x

2

+

x

6

+

x

24

，令x=1，則能得出關(guān)于e的表達(dá)式，整理計(jì)算即可．

解答：解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，可知f^（n）（x）=e^x，f^（n）（0）=1
所以若取n=4，e^x≈f（0）+x+

x

2

+

x

6

+

x

24

，
令x=1，則e≈1+1+

1

2

+

1

6

+

1

24

=

65

24

故答案為：

65

24

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算，閱讀、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、計(jì)算能力．