Question

已知函數(shù)f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n（m，n∈R，且mn＞0），給出下列命題，①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0）成中心對(duì)稱；②存在實(shí)數(shù)p和q，使得p≤f（x）≤q對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立；③關(guān)于x的方程g（x）=0的解集可能為{-4，-2，0，3}其中正確的是（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、①③
• D、①②③

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：判斷函數(shù)y=

ax

x2+c

(a≠0)為奇函數(shù)結(jié)合函數(shù)圖象平移說(shuō)明①正確；
求出函數(shù)y=

ax

x2+c

(a≠0)的值域，再由f（x）與函數(shù)y=

ax

x2+c

(a≠0)的值域相同說(shuō)明②正確；
把方程g（x）=0變形后得到0不可能在方程的解集中說(shuō)明③錯(cuò)誤．

解答： 解：①，∵函數(shù)y=

ax

x2+c

(a≠0)為定義域內(nèi)的奇函數(shù)，∴其圖象關(guān)于（0，0）中心對(duì)稱，
又f（x）=

a(x-b)

(x-b)2+c

是把y=

ax

x2+c

(a≠0)向右平移1個(gè)單位得到的，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0）成中心對(duì)稱，命題①正確；
②，∵c＞0，函數(shù)y=

ax

x2+c

(a≠0)的定義域?yàn)镽，y=

ax

x2+c

(a≠0)=

a

x+ c x

，
當(dāng)x＞0時(shí)，x+

c

x

≥2

c

，

1

x+ c x

∈(0，

c

2c

]，若a＞0，

a

x+ c x

∈（0，

a c

2c

]；若a＜0，

a

x+ c x

∈[

a c

2c

，0）．
當(dāng)x＜0時(shí)，x+

c

x

=-[(-x)+

c

-x

]≤-2

c

，

1

x+ c x

∈[-

c

2c

，0)，
若a＞0，

a

x+ c x

∈[-

a c

2c

，0）；若a＜0，

a

x+ c x

∈（0，-

a c

2c

]．
而f（x）與函數(shù)y=

ax

x2+c

(a≠0)的值域相同，
∴存在實(shí)數(shù)p和q，使得p≤f（x）≤q對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，命題②正確；
③，方程g（x）=0，即m[f（x）]²-n=0，也就是[f(x)]2=

n

m

，
∵mn＞0，∴

n

m

＞0，則函數(shù)h（x）=[f（x）]²的圖象與y=

n

m

無(wú)交點(diǎn)，
∴0不可能在方程g（x）=0的解集中，命題③錯(cuò)誤．
∴正確的命題是①②．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)圖象的平移，是中檔題．