Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）若f（x）=f₁（x）=

x

1+x

，f_n（x）=f_n-1[f（x）]（n≥2，n∈N^*），則f（1）+f（2）+…+f（n）+f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）=（　�。�

• A．n
• B．

  9

  n+1

• C．

  n

  n+1

• D．1

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次求出f₂（x）、f₃（x）的解析式，分析可得f_n（x）的解析式，又由f（n）=

n

1+n

，計算可得f（n）+f_n（1）=1，將f（1）+f（2）+…+f（n）+f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）變形為f（1）+f₁（1）+f（2）+f₂（1）+…f（n）+f_n（1），計算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，
f₂（x）=f₁[f（x）]=

x

1+2x

，
f₃（x）=f₂[f（x）]=

x

1+3x

，
…
分析可得，f_n（x）=f_n-1[f（x）]=

x

1+nx

，則f_n（1）=

1

1+n

，
又由f（n）=

n

1+n

，則f（n）+f_n（1）=1，
故f（1）+f（2）+…+f（n）+f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）=f（1）+f₁（1）+f（2）+f₂（1）+…f（n）+f_n（1）=n，
故選A．

點評：本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確求出f_n（x）的解析式．