Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥mx2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=2x﹣2+ = （x＞0），

令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，

①當(dāng)△=4﹣8a≤0，即a≥ 時(shí)，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)△=4﹣8a＞0即a＜ 時(shí)，由2x2﹣2x+a=0，得x= ，

由f'（x）＞0，得0＜x＜ 或x＞ ，

由f'（x）＜0，得 ＜x＜ ，

a≤0時(shí)， ≤0，f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

0＜a＜ 時(shí)，得 ＞0，

f（x）在（0， ）遞減，在（ ， ）遞增，

在（ ，+∞）遞減；

綜上，當(dāng)a≥ 時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；

當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0， ），（ ，+∞），

單調(diào)遞減區(qū)間是（ ， ）；

a≤0時(shí)，f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增

（2）解：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，

由（1）可得0＜a＜ ，

由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，則x1+x2=1，x1= ，x2= ，

由0＜a＜ ，可得0＜x1＜ ， ＜x2＜1，

=1﹣x1+ +2x1lnx1，

令h（x）=1﹣x+ +2xlnx，（0＜x＜ ），h′（x）=﹣1﹣ +2lnx，

由0＜x＜ ，則﹣1＜x﹣1＜﹣ ， ＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣ ＜﹣1，

又2lnx＜0，則h′（x）＜0，即h（x）在（0， ）遞減，

即有h（x）＞h（ ）=﹣ ﹣ln2，即 ＞﹣ ﹣ln2，

即有實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣ ﹣ln2]

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，對(duì)判別式討論，即當(dāng)a≥ 時(shí)，當(dāng)0＜a≤ 時(shí)，a≤0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（Ⅱ）可得0＜a＜ ，不等式f（x1）≥mx2恒成立即為 ≥m，求得 =1﹣x1+ +2x1lnx1 ， 令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．