Question

已知函數(shù)f(x)=

x

x+b

的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的大致圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）易求f（x）的反函數(shù)f^-1（x），由函數(shù)f(x)=

x

x+b

的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)可得f（x）≡f^-1（x），由此即可求得b值；
（2）先求得函數(shù)f（x）的定義域，y=f（x）可變形為（x-1）（y-1）=1，由此可判斷其圖象是反比例函數(shù)型的雙曲線(xiàn)，從而可畫(huà)出圖象，據(jù)圖象可得其單調(diào)區(qū)間；

解答：（1）令y=

x

x+b

，反解x得x=

by

1-y

，即f（x）的反函數(shù)為f-1(x)=

bx

1-x

．
∵函數(shù)f(x)=

x

x+b

的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
∴f(x)=

x

x+b

≡f-1(x)=

bx

1-x

，解得 b=-1． 
（2）∵f(x)=

x

x-1

的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），
∴y=

(x-1)+1

x-1

=1+

1

x-1

，得 y-1=

1

x-1

，即（x-1）（y-1）=1，
表明其圖象是反比例函數(shù)型的雙曲線(xiàn)，因此，其大致圖象如右圖所示：
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，1）和（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的作法及反函數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．