【題目】已知直線： ， ： ，動(dòng)點(diǎn)分別在直線， 上移動(dòng)， ， 是線段的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的直線交軌跡于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若點(diǎn)在軌跡上，求四邊形的面積.

【答案】（I）. （II）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件設(shè)， ， ，即. 設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式消去參數(shù)m,n得 .

（2）設(shè)直線的方程為， ， ， .將代入，整理得 .則 ， . 因?yàn)?/span>，可得R(， . 由在橢圓上，有，化簡(jiǎn)得. 從而整理可得 . 可求得四邊形的面積.

試題解析：（1）根據(jù)條件可設(shè)， ，由，得:

.

設(shè)，則得

將①和②代入中并化簡(jiǎn)得： .

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為， ， ， .

將代入，整理得 .

則 ， .

.

因?yàn)?/span>，則有： ， .

因?yàn)?/span>在橢圓上， ，

化簡(jiǎn)得： .

所以， ，

因?yàn)?/span>

.

又點(diǎn)到的距離為.

由，可知四邊形為平行四邊形，

.

拓展: 此題結(jié)論可推廣到更一般情形:

第(Ⅰ))題中, 直線、只要不垂直,軌跡均為橢圓, 、垂直時(shí),軌跡為圓;

第(Ⅱ)題中結(jié)論可推廣到更一般情形:

設(shè)不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓: 于點(diǎn)、，點(diǎn)滿足. 若點(diǎn)在橢圓上，則四邊形OPRQ(或)的面積為定值。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，對(duì)任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．

(1)證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤(x＋c)2；

(2)若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a}．

（1）若a=-2，求B∩A，B∩(UA)；（2）若A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x，aR.

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知f(x)在x=1處取得極大值.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》（第二季)亮點(diǎn)頗多，十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞，在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味.若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩(shī)詞排在后六場(chǎng)，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場(chǎng)的排法有（ ）

A. 種 B. 種 C. 種 D. 種

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象過(guò)點(diǎn)

（1）求的解析式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程，在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員，，進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)，乙對(duì)，丙對(duì)各一盤(pán).已知甲勝、乙勝、丙勝的概率分別為0.6，0.5，0.5，假設(shè)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率是____________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn)。

（Ⅰ）寫(xiě)出的方程;

（Ⅱ）若，求的值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上．

（1）求圓的方程；

（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；

（3）已知點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，對(duì)于圓上的任意動(dòng)點(diǎn)，都有為定值?若存在求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案