Question

已知sinβ=2sin（2α+β）．
（Ⅰ）若α=

π

4

，求tanβ的值；
（Ⅱ）若α+β=

π

3

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（I）將α=

π

4

代入，利用誘導(dǎo)公式得sinβ=2cosβ，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可算出tanβ的值；
（II）配角：β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α．代入題中等式并結(jié)合α+β=

π

3

展開，化簡(jiǎn)得

3

2

cosα=-

3

2

sinα，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可算出tanα的值．

解答：解：（Ⅰ）∵α=

π

4

，得sin（2α+β）=sin（

π

2

+β）
∴由sin（

π

2

+β）=cosβ，可得sinβ=2cosβ．
兩邊都除以cosβ，得tanβ=2．
（Ⅱ）∵sinβ=sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，
∴將α+β=

π

3

代入，得sin(

π

3

-α)=2sin(

π

3

+α)，
展開，得sin

π

3

cosα-cos

π

3

sinα=2(sin

π

3

cosα+cos

π

3

sinα)
化簡(jiǎn)得sin

π

3

cosα=-3cos

π

3

sinα，即

3

2

cosα=-

3

2

sinα，
兩邊都除以cosα，得tanα=-

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于正弦的三角函數(shù)等式，求α、β的正切值．著重考查了兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．運(yùn)用題中的已知角配方表示未知角，使問(wèn)題得到解決，是本題的主要思路．