Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖）．在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點B的距離不超過km的區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A，B兩點的距離之和不超過4km的區(qū)域．
（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）如圖所示，設(shè)線段P₁P₂，P₂P₃是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)邊界曲線上點P的坐標為（x，y），當x≥2時，．當x＜2時，．由此能得到考查區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P₁，P₂的直線為l₁，過點P₂，P₃的直線為l₂，則直線l₁，l₂的方程分別為．
設(shè)直線l平行于直線l₁，其方程為，代入橢圓方程，消去y，得，然后由根的判別式和點到直線的距離公式結(jié)合題設(shè)條件進行求解．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)邊界曲線上點P的坐標為（x，y），
當x≥2時，由題意知．
當x＜2時，由知，點P在以A，B為焦點，長軸長為的橢圓上．此時短半軸長．因而其方程為．
故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為和．


（Ⅱ）設(shè)過點P₁，P₂的直線為l₁，過點P₂，P₃的直線為l₂，則直線l₁，l₂的方程分別為．
設(shè)直線l平行于直線l₁，其方程為，代入橢圓方程，消去y，得
，
由△100×3m²-4×16×5（m²-4）=0，
解得m=8或m=-8．
從圖中可以看出，當m=8時，直線l與C₂的公共點到直線l的距離最近，此時直線l的方程為，l與l₁之間的距離為．
又直線l₂到C₁和C₂的最短距離，而d'＞3，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為3．
設(shè)冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的時間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，
得，所以n≥4．
故冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間為4年．
點評：本題考查點的軌跡方程，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用和數(shù)形結(jié)合的合理運用．