Question

已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，若存在， 使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .

（2）

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，并利用導函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間，注意對參變量的取值進行分類討論；

（2）由（1）知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

而原問題可等價轉(zhuǎn)化為

所以可先利用在上單調(diào)遞減，求出，再用分離變量法求出實數(shù)的取值范圍.

【解析】
（1）依題意， 2分

當時，，令，得或

令，得 3分

當時， 4分

時，，令，得或；令，得 ；

5分

綜上所述：當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 6分 .

（2） 由（1）知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以， 7分

所以， 8分

因為存在，使得成立

所以

整理得： 10分

又，所以，又因為，得，

所以所以 12分

考點：1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值；2、等價轉(zhuǎn)化的思想；3、分類討論的思想；4、變量分離法求不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍.