Question

已知數(shù)列＞3
（1）求證a_n＞3；      
（2）比較a_n，a_n+1的大小，并證明
（3）是否存在m∈N⁺，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可
（2）要判斷a_n，a_n+1的大小，只要檢驗(yàn)a_n+1-a_n-a_n=與0的大小即可
（3）假設(shè)存在使題設(shè)成立的正整數(shù)m，則由（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²及a_m-3=2a_m+1，可求a_m，檢驗(yàn)是否滿足a_m＞3
解答：（1）證明：①當(dāng)n=1時(shí)不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a_k＞3，則=3
即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式仍成立．
根據(jù)①②對(duì)任何n∈N^*，都有a_n＞3．…（4分）
（2）∵a_n+1-a_n=-a_n=＜0，
∴a_n+1＜a_n，n∈N^*，…（7分）
（3）假設(shè)存在使題設(shè)成立的正整數(shù)m，則
（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²
即（a_m-3）•=（a_m+1-3）²，
∴a_m-3=2a_m+1，
從而a_m=-3，這不可能．
故不存在m∈N^*，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²．…（11分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題，利用作差法比較兩個(gè)式子的大小及存在性命題的解決，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用