Question

已知奇函數(shù)函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），當(dāng)x＞0時，f(x)=1-

1

x

（1）求f（-2）的值；
（2）當(dāng)x＜0時，求f（x）的解析式；
（3）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，x＞0時，f(x)=1-

1

x

，能求出f（-2）．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，故f(-x)=1-

1

-x

=1+

1

x

，再由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，能求出x＜0時，f（x）的解析式．
（3）任意0＜x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）=

x1-x2

x1x2

＜0，能證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
x＞0時，f(x)=1-

1

x

∴f(-2)=-f(2)=-

1

2

…（4分）
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f(-x)=1-

1

-x

=1+

1

x

…（6分）
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
∴當(dāng)x＜0時，f(x)=-f(-x)=-1-

1

x

…（9分）
（3）證明：任意0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=-

1

x1

+1-（-

1

x2

+1）
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴

x1-x2

x1x2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)函數(shù)值的求法，考查函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)單調(diào)性的證明．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．