Question

已知等腰梯形的三邊AB，BC，CD分別與函數(shù)y=-

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2

x²+2，x∈[-2，2]的圖象切于點P，Q，R，且點P的橫坐標為x=1，則此梯形的面積為

 

．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)的解析式y(tǒng)=-

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x²+2，x∈[-2，2]，及等腰梯形的三邊AB，BC，CD分別與函數(shù)y=-

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x²+2，x∈[-2，2]的圖象切于點P，Q，R，且點P的橫坐標為x=1，我們易求出直線AB的方程，進而求出A，B的坐標，進而得到梯形的上底、下底及高，代入梯形面積公式，即可得到答案．

解答：解：∵函數(shù)y=-

1

2

x²+2，
∴y′=-x
∵點P橫坐標為x=1，
過P的切線BA的斜率等于P點的導數(shù)，即k=-1
又∵P的坐標為（1，

3

2

），
∴AB的所在直線的方程為：y-

3

2

=-（x-1）
即2x+2y-5=0
則A點坐標為（

5

2

，0）點，
∵函數(shù)y=-

1

2

x²+2的頂點坐標為（0，2），BC與X軸平行
∴B點坐標為（

1

2

，2）
故梯形ABCD的下底長為5，上底長為1，高為2
則梯形ABCD的面積S=6
故答案為：6．

點評：本題考查的知識點是導數(shù)與直線的斜率，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導函數(shù)，進而求出過切點P的切線方程，是解答本題關(guān)鍵．