Question

已知{a_n}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．令（n∈N^*），記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，對任意的n∈N^*，不等式T_n＜恒成立，則實數(shù)m的最小值是________．

Answer 1

100
分析：設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，由已知a₃a₆=55，a₂+a₇=16，列式求出首項和公差，則等差數(shù)列的通項公式可求，代入令（n∈N^*）后，利用列項求和求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，代入不等式T_n＜后可求解實數(shù)m的最小值．
解答：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
則由a₃a₆=55，a₂+a₇=16，得：，
即，由②得：③
把③代入①得：d²=4，所以d=-2或d=2．
因為{a_n}的公差大于0，所以，d=2，
則．
所以，a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
則a_n+1=2（n+1）-1=2n+1．
所以，=．
則T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=
=．
由T_n＜對任意n∈N^*恒成立，
得恒成立，
即=對任意n∈N^*恒成立，
所以，m≥100．
則實數(shù)m的最小值為100．
故答案為100．
點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答此題的關(guān)鍵是，對不等式=中m取值的分析，此題是中檔題．