Question

6．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G分別為A₁B₁，BB₁，B₁C₁的中點，則AC₁
與D₁E所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{30}$，AC₁與平面EFG所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標系，設正方體的棱長為2，利用向量方法求出所求角．

解答 解：建立如圖所示的坐標系，設正方體的棱長為2，可得A（2，0，0），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），E（2，1，2），F(xiàn)（2，2，1），G（1，2，2），則
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，2），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（2，1，0），
∴AC₁與D₁E所成角的余弦值為|$\frac{-4+2}{\sqrt{4+4+4}•\sqrt{4+1}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{30}$；
平面EFG的一個法向量為（2，2，2），AC₁與平面EFG所成角的正弦值為$\frac{-4+4+4}{2\sqrt{3}•2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
故答案為$\frac{\sqrt{15}}{30}$；$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線線角，考查線面角，考查向量方法的運用，屬于中檔題．