設(shè)橢圓方程為x2+=1,過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足=(+),當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為　　　　　.

 

4x2+y2-y=0

【解析】【思路點(diǎn)撥】設(shè)直線l的斜率為k,用參數(shù)法求解,但需驗(yàn)證斜率不存在時(shí)是否符合要求.

直線l過(guò)點(diǎn)M(0,1),當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

由題設(shè)可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2)是方程組的解,

將①代入②并化簡(jiǎn)得(4+k2)x2+2kx-3=0,

所以

于是=(+)=(,)

=(,).

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0,�、�

當(dāng)斜率不存在時(shí),A,B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),也滿足方程③,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.

【方法技巧】利用參數(shù)法求軌跡方程的技巧

參數(shù)法是求軌跡方程的一種重要方法,其關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù).一般來(lái)說(shuō),選參數(shù)時(shí)要注意:

①動(dòng)點(diǎn)的變化是隨著參數(shù)的變化而變化的,即參數(shù)要能真正反映動(dòng)點(diǎn)的變化特征;②參數(shù)要與題設(shè)的已知量有著密切的聯(lián)系;③參數(shù)要便于軌跡條件中的各種相關(guān)量的計(jì)算,也要便于消去.常見(jiàn)的參數(shù)有角度、斜率、點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)等.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知曲線-=1(ab≠0,且a≠b)與直線x+y-1=0相交于P,Q兩點(diǎn),且·=0(O為原點(diǎn)),則-的值為　　　　.

 

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已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,a2與b2的等差中項(xiàng)為.

(1)求橢圓E的方程.

(2)A,B是橢圓E上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(t,0),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

 

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夾在兩條平行線l1:3x-4y=0與l2:3x-4y-20=0之間的圓的最大面積為　　　　.

 

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已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn),且圓C與直線x+y+3=0相切,則圓C的方程為(　　)

(A)(x+1)2+y2=2 (B)(x-1)2+y2=2

(C)(x+1)2+y2=4 (D)(x-1)2+y2=4

 

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已知點(diǎn)P在定圓O的圓內(nèi)或圓周上,動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)P與定圓O相切,則動(dòng)圓C的圓心軌跡可能是(　　)

(A)圓或橢圓或雙曲線

(B)兩條射線或圓或拋物線

(C)兩條射線或圓或橢圓

(D)橢圓或雙曲線或拋物線

 

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如圖,函數(shù)f(x)=x+的定義域?yàn)?/span>(0,+∞).設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M,N.

(1)證明:|PM|·|PN|為定值.

(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形OMPN面積的最小值.

 

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已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<,x∈R)的圖象的一部分如圖所示.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式.

(2)當(dāng)x∈[-6,-]時(shí),求函數(shù)y=f(x)+f(x+2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值.

 

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已知M(1+cos 2x,1),N(1,sin2x+a)(x∈R,a∈R,a是常數(shù)),且y=·(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y=f(x).

(2)若x∈[0,]時(shí),f(x)的最大值為2013,求a的值.

 

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