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已知函數(shù) $數(shù)學公式$
（1）若函數(shù) 在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù) $數(shù)學公式$ ，若方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2x-1
∵函數(shù)在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，
∴f′（1）=a+1=4
∴a=3
（2）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2x-1，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可
f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解，即 $\text{[math]}$ 在（2，+∞）上有解
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴實數(shù)a的取值范圍是 $\text{[math]}$
（3）函數(shù) $\text{[math]}$ ，若方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個不相等的實數(shù)根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點
當x≥1時，g（x）= $\text{[math]}$ ，g′（x）= $\text{[math]}$ ＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增
當x＜1時，g（x）= $\text{[math]}$ ，g′（x）=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令g′（x）＞0，可得 $\text{[math]}$ ＜x $\text{[math]}$ ，令g′（x）＜0，可得x＜ $\text{[math]}$ ，或x $\text{[math]}$ ，
∴函數(shù)在 $\text{[math]}$ 上單調(diào)減，（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上單調(diào)增， $\text{[math]}$ 上單調(diào)減，（1，2）上單調(diào)增
∴當 $\text{[math]}$ 時，g（x）取得極小值 $\text{[math]}$ ．當 $\text{[math]}$ 時，g（x）取得極大值 $\text{[math]}$ ．g（-2）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 時，g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點，方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個不相等的實數(shù)根
∴實數(shù)m的取值范圍為 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，可實數(shù)a的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2x-1，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可；
（3）函數(shù) $\text{[math]}$ ，若方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個不相等的實數(shù)根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點．
點評：本題重點考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，綜合性強．

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已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|，g（x）=（a+1）x，（a∈R，a≠-2）．
（1）若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[lg|a+2|，（a+1）²]上都是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，比較f（1）與

的大小，寫出理由．

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（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+

)(1+

)…(1+

)≥a

2n+1

對一切n∈N*均成立的最大實數(shù)a；
（Ⅲ）對每一個k∈N^*，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個2，得到新數(shù)列：a₁，2，a₂，2，2，a₃，2，2，2，2，a₄，…，記為{b_n}，設(shè)T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，試問是否存在正整數(shù)m，使T_m=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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（1）已知函數(shù)f（x）=2sinx（0≤x≤

），試寫出f₁（x），f₂（x）的表達式，并判斷f（x）是否為[0，

]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，請求對應(yīng)的k的值；如果不是，請說明理由；
（2）已知b＞0，函數(shù)g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍．

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