Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公比是正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，已知a₁=1，b₁=3，a₂+b₂=8，T₃-S₃=15．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若數(shù)列{c_n}滿足a₁c₁+a₂c₂+…+a_n-1c_n-1+a_nc_n=n（n+1）（n+2）+1（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和W_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，依題意，列出關(guān)于q、d的方程組，解之即可求得{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由a_n=n知，c₁+2c₂+3c₃+…+nc_n=n（n+1）（n+2）+1，n≥2時(shí)，c₁+2c₂+3c₃+…+（n-1）c_n-1=（n-1）n（n+1）+1，二式相減可求得c_n=3n+3（n≥2），再求得c₁，即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和W_n．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵a₁=1，b₁=3，由a₂+b₂=8，得1+d+3q=8，①
由T₃-S₃=15得3（q²+q+1）-（3+3d）=15②
由①②得：

3q+d=7 q2+q-3d=5

消去d得q²+4q-12=0，
∴q=2或q=-6，又q＞0，
∴q=2，代入①得d=1．
∴a_n=n，b_n=3•2^n-1．
（2）∵a_n=n，
∴c₁+2c₂+3c₃+…+nc_n=n（n+1）（n+2）+1①
當(dāng)n≥2時(shí)，c₁+2c₂+3c₃+…+（n-1）c_n-1=（n-1）n（n+1）+1②
由①-②得：
nc_n=3n（n+1），
∴c_n=3n+3（n≥2）．
又由（1）得c₁=7，
∴c_n=

3n+3(n≥2) 7(n=1)

．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和W_n=7+9+12+…+3n+3=1+

6+3n+3

2

•n=

3n2+9n

2

+1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的求和公式的綜合應(yīng)用，屬于難題．