設(shè)a、b、c都是整數(shù)，過圓x2＋y2＝(3a＋1)2外一點P(b3－b，c3－c)向圓引兩條切線，試證明：過這兩切點的直線上的任意一點都不是格點(所謂格點是指：橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點)．

答案：
解析：

　　線段OP的中點的坐標(biāo)為((b3－b)，(c3－c))，以O(shè)P為直徑的圓的方程為

　　(1)

　　將x2＋y2＝(3a＋1)2代入(1)得(b3－b)＋(c3－c)y＝(3a＋1)2

　　它就是過兩切點的直線方程，如果有在格點．

　　因b3－b＝b(b－1)(b＋1)，它為三個連續(xù)數(shù)的乘積，顯然能被3整除，

　　同理，c3－c亦能被3整除．

　　于是(3a＋1)2能被3整除，從而3a＋1也必須能被3整除，顯然這是不可能的，從而，原命題得證．


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設(shè)a、b、c都是整數(shù)，過圓x2+y2=（3a+1）2外一點P（b3-b，c3-c）向圓引兩條切線，試證明：過這兩切點的直線上的任意一點都不是格點（所謂格點是指：橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點）．

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