設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c（a＞b），且acosB-bcosA=3c．
（1）求tanAcotB的值；
（2）求tan（A+B）的最小值，并求出最小值時(shí)角B的大小．
解：（1）利用正弦定理
=
=
化簡(jiǎn)已知的等式得：
sinAcosB-sinBcosA=3sinC，又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinAcosB-sinBcosA=3sin（A+B）=3sinAcosB+3cosAsinB，
∴-2sinAcosB=4cosAsinB，
∴tanAcotB=-2；（6分）
（2）由（1）知tanA=-2tanB，
則
，
又a＞b，故A為鈍角、B為銳角，∴tanB＞0，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，取“=”（12分）
分析：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，再由sinC=sin（A+B），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，再等式兩邊同時(shí)除以cosAsinB，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后即可求出tanAcotB的值；
（2）利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tan（A+B），把（1）得到的tanAcotB=-2變形，得到tanA=-2tanB，代入化簡(jiǎn)后的tan（A+B）式子中，得到關(guān)于tanB的關(guān)系式，由a大于b得到A大于B，進(jìn)而得到A為鈍角，B為銳角，可得tanB大于0，根據(jù)基本不等式即可求出tan（A+B）取得最小值時(shí)角B的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
