如圖，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，

 

（1）求證：MN//平面PAD；

（2）求證：MN⊥AB；

（3）若平面PDC與平面ABCD所成的二面角為θ，試確定θ的值，使得直線MN是異面直線AB與PC的公垂線.

證明：（1）取PD中點(diǎn)E，連接NE、AE，則四邊形MNEA是平行四邊形，

∴MN∥AE.∴MN∥平面PAD.

（2）連結(jié)AC、BD,兩者交于O，連結(jié)OM、ON，因?yàn)?I >ON∥PA，所以ON⊥平面ABCD.

因?yàn)?I >OM⊥AB，由三垂線定理,知MN⊥AB.

（3）∵PA⊥面AC，AD是PD在面AC內(nèi)的射影，CD⊥AD,

∴CD⊥PD.∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角θ.

當(dāng)θ=45°時(shí)，AE⊥PD，AE⊥CD，

∴AE⊥面PCD.

∵MN∥AE,∴MN⊥面PCD.

∵PC面PCD，∴MN⊥PC.

又由（2）知MN⊥AB，∴MN是AB與PC的公垂線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面體PCEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

16、如圖，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N分別為PC，AB中點(diǎn)，求證：MN⊥P C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，DE=a，P為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求證：AE∥平面BCF．

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（本題滿分14分）

如圖， ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2a，DE=a， P為AB的中點(diǎn).

（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；

（2）求證：AE∥平面BCF.

 

 

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