Question

如圖，直線l與拋物線y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)M，且y₁y₂=-1．
（1）求證：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；
（2）求證：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)和直線l的方程，代入拋物線方程利用韋達(dá)定理求得x₀=-y₁y₂，進(jìn)而求得x₀，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可得．
（2）利用y₁y₂=-1，求得x₁x₂+y₁y₂=0，進(jìn)而判斷出OA⊥OB．
（3）利用（1）中的方程根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進(jìn)而求得|y₁-y₂|的表達(dá)式，進(jìn)而利用|OM|代入三角形面積公式求得三角形AOB的面積表達(dá)式，利用m的范圍求得面積的最小值．

解答：解：（1）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，0），直線l方程為x=my+x₀，
代入y²=x得y²-my-x₀=0①，
y₁，y₂是此方程的兩根，
∴x₀=-y₁y₂=1，即M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．
（2）∵y₁y₂=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0
∴OA⊥OB．
（3）由方程①，y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，且|OM|=x₀=1，
于是S△AOB=

1

2

|OM||y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

m2+4

≥1，
∴當(dāng)m=0時(shí)，△AOB的面積取最小值1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基礎(chǔ)知識(shí)綜合理解和應(yīng)用，方程與函數(shù)思想的運(yùn)用．