Question

如圖 I，平面四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=150°，AB=AD=2BC=4，把△ABD沿直線BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，連接AC得到如圖 II所示四面體A-BCD．設(shè)點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是BD，AB，AC的中點(diǎn)．連接CE，BF交于點(diǎn)G，連接OG．
（1）證明：OG⊥AC；
（2）求二面角B-AD-C的大�。�

Answer 1

（1）證明：由已知，△ABD是等邊三角形，取OD的中點(diǎn)M，連接AM、CM、FM
在△ABM中，BM=3，AB=4，B=60°，由余弦定理得AM=
在△CBM中，BC=2，BM=3，CB⊥BD，得CM=
所以AM=CM，
因?yàn)镕為AC中點(diǎn)，所以MF⊥AC
由已知，G為三角形ABC的重心，所以BG：GF=BO：OM=2：1
所以O(shè)G∥MF，所以O(shè)G⊥AC；…6'
（2）解：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CB⊥BD，∴CB⊥面ABD
∵AB?面ABD，∴CB⊥AB
∴△ABC≌△BCD，∴AC=CD
取AD中點(diǎn)N，連接CN，BN，則CN⊥AD，BN⊥AD，所以∠BNC是二面角B-AD-C的平面角．
在△BNC中，CB⊥BN，BC=2，BN=，∴∠BNC=30°
∴二面角B-AD-C的大小為30°…12'
分析：（1）由已知，△ABD是等邊三角形，取OD的中點(diǎn)M，連接AM、CM、FM，先證明AM=CM，根據(jù)F為AC中點(diǎn)，可得MF⊥AC，再證明OG∥MF，即可得到結(jié)論；
（2）取AD中點(diǎn)N，連接CN，BN，則∠BNC是二面角B-AD-C的平面角，從而可求二面角B-AD-C的大�。�
點(diǎn)評：本題考查線線垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．