Question

設F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點．
（1）設橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點距離之和等于4，求橢圓C的方程和離心率；
（2）設PQ是（1）中所得橢圓過左焦點的動弦，求弦PQ中點M到右準線近距離的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把已知點的坐標代入橢圓方程，再由橢圓的定義知2a=4，從而求出橢圓的方程，由橢圓的方程求出離心率．
（2）設M（x，y），P（ x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂ ），直線PQ方程為 y=k（x+1），然后表示出弦PQ中點M到右準線距離關于k的函數(shù)，求出取值范圍，再考慮斜率不存在時中點到右準線的距離，即可求出所求．

解答：解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2
又點A（1，

3

2

）在橢圓上，因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1得b²=3，于是c²=1
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，離心率e=

1

2

；
（2）設M（x，y），P（ x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂ ），直線PQ方程為 y=k（x+1），右準線方程為x=4
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 = 1

消y得：（3+4k²）x²+8k² x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，因為M是AB中點，有 x=

x1+x2

2

，
∴x=

-4k2

3+4k2

∴弦PQ中點M到右準線距離為4-

-4k2

3+4k2

∈[4，5）
當直線PQ的斜率k不存在時，PQ⊥x軸，AB中點M 的坐標為（-1，0），M到右準線距離為5，
∴弦PQ中點M到右準線近距離的取值范圍為[4，5]．

點評：本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、線段的中點公式，以及求函數(shù)的值域，屬于中檔題．