Question

13．（1）已知二次函數(shù)f（3x+1）=9x²-6x+5，求f（x）的解析式；
（2）設f（x）是定義在實數(shù)集R上 的函數(shù)，滿足f（0）=1，且對任意的實數(shù)x，y有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由題意，設出二次函數(shù)f（x）的解析式，利用待定系數(shù)法求解．
（2）利用賦值法求解f（x）的解析式．

解答 解：（1）由題意：已知f（x）是二次函數(shù)，設函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
則f（3x+1）=a（3x+1）²+b（3x+1）+c=9ax²+6ax+a+3bx+b+c=9x²-6x+5，
由：$\left\{\begin{array}{l}{9a=9}\\{6a+3b=-6}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-4，c=8
∴二次函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=x²-4x+8．
（2）f（x）是定義在實數(shù)集R上 的函數(shù)，
對任意的實數(shù)x，y有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），
∵f（0）=1，
∴令x=y，
則有：f（0）=f（x）-x（2x-x+1），
整理得：f（x）=x²+x+1．
故得f（x）的解析式：f（x）=x²+x+1．

點評 本題考查了二次函數(shù)和抽象函數(shù)的解析式的求法．利用了待定系數(shù)法和賦值法．屬于基礎題．