Question

矩形ABCD中，AB=6，BC=2，沿對角線BD將三角形ABD向上折起，使點(diǎn)A移至點(diǎn)P，使點(diǎn)P在平面BCD上的射影O在DC上，（如圖）．
（Ⅰ）求證：PD⊥PC；
（Ⅱ）求直線CD與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 利用傳統(tǒng)方法，要證線線垂直，可先證線面垂直，本題只需要證明DP⊥平面PCB 即可，
（Ⅱ）解法一：先作二面角的平面角，作CF⊥PB，F(xiàn)為垂足，從而可知∠CDF是CD與平面BDP所成的角，故可求；
解法二：以平行于BC的直線為x軸，以O(shè)C為y軸，以O(shè)P為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，從而轉(zhuǎn)化為向量的夾角求解即可．
解答：證明：（Ⅰ）∵PO⊥平面BCD，∴PO⊥BC
∴平面PCD⊥平面BCD
又∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PCD∴BC⊥PD
又∵BP⊥PD∴DP⊥平面PCB
∴DP⊥CP                 …（7分）
（Ⅱ）解法一：
作CF⊥PB，F(xiàn)為垂足，∴DP⊥平面PCB∴平面PBD⊥平面BCP
∵CF⊥平面PDB，∴∠CDF是CD與平面BDP所成的角，
在Rt△PBC中，∴∠BCP=90°，，∴，∴CF•BP=BC•CP，∴，
在Rt△CDF中，
∴CD與平面BDP所成的角的正弦值為…（14分）
解法二：
由題意知 DC=6DP⊥CP
∴DO=2OC=4
如圖，以平行于BC的直線為x軸，以O(shè)C為y軸，以O(shè)P為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），，D（0，-2，0），C（0，4，0），
∴，
設(shè)平面PBD的法向量為，
則 且
令y=1，則，，∴
記CD與平面BDP所成的角為θ則  =
∴CD與平面BDP所成的角的正弦值為…（14分）
點(diǎn)評：本題以平面圖形的翻折為素材，考查線線垂直，考查線面角，一例兩法，應(yīng)注意細(xì)細(xì)體會．