Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正常數(shù)），且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等．
（I）求a的值；
（II）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，結(jié)合函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正常數(shù)），我們可以構造關于a的方程，解方程可以求出a的值
（II）由（1）中結(jié)論，我們可以得到函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的解析式，利用零點分段法，我們可以將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可分析出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等
∴f（0）=g（0），即|a|=1…（2分）
又a＞0，所以a=1．           …（4分）
（II） 由（I）可知f（x）=|x-1|，g（x）=x²+2x+1…（6分）
∴h(x)=f( x )+g( x )=|x-1|+x2+2x+1=

(x+ 1 2 )2+ 7 4 ，x＜1 (x+ 3 2 )2- 9 4 ，x≥1

…（9分）
∴h(x)在[-

1

2

，1)和[1，+∞)上都是單調(diào)遞增函數(shù)．，…（11分）
又∵(1+

1

2

)2+

7

4

=(1+

3

2

)2-

9

4

，
∴h(x)在[-

1

2

，+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．…（13分）
故h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

1

2

，+∞)…（14分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)與方程的綜合運用，函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，零點分段法，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中利用零點分段法將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，進而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)單調(diào)性的判斷問題是解答本題的關鍵．