Question

8．（1）已知f（x）是一次函數(shù)，且f[f（x）]=9x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是二次函數(shù)，且f（2-x）-f（x）=0，f（1）=-1，f（0）=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）已知f（x+1）=x²-2，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用復合函數(shù)的意義即可求出；
（2）利用待定系數(shù)法，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）令t=x+1，則x=t-1，利用換元法，可得函數(shù)解析式．

解答 解：（1）設一次函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0），
則f（f（x））=f（kx+b）=k（kx+b）+b=k²x+kb+b，
∵f[f（x）]=9x+1，
∴k²x+kb+b=9x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=9}\\{kb+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴f（x）=3x+$\frac{1}{4}$或f（x）=-3x-$\frac{1}{2}$．
（2）f（2-x）-f（x）=0，則函數(shù)關于直線x=1對稱，
f（1）=-1，設函數(shù)為f（x）=a（x-1）²-1，
∵f（0）=0，∴a-1=0，∴a=1，
∴f（x）=（x-1）²-1；
（3）令t=x+1，
則x=t-1，
∵f（x+1）=x²-2，
∴f（t）=（t-1）²-2，
∴f（x）=（x-1）²-2．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求解及常用方法，熟練掌握復合函數(shù)的意義和換元法是解題的關鍵．