【題目】已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn).
(1)求拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)直線交拋物線于,不同兩點(diǎn),且,位于軸兩側(cè),過點(diǎn),分別作拋物線的兩條切線交于點(diǎn),直線,與軸的交點(diǎn)分別記作,.記的面積為,面積為,面積為,試問是否為定值,若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1),焦點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)為定值且定值為1.
【解析】
(1)將點(diǎn)代入拋物線方程求出后可得所求的拋物線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo).
(2) 設(shè),,利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率后可求切線的方程,求出的坐標(biāo)后可用表示,化簡(jiǎn)后可得為定值.
(1)將代入方程有,故,所以拋物線的方程為,
焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
(2)設(shè),,的中點(diǎn)為.
因?yàn)閽佄锞的方程為,故,所以,
故直線,同理.
令,則.
由解得,故.
因?yàn)?/span>,故軸,又,
所以.
又,故
,
因?yàn)?/span>,位于軸兩側(cè),故,所以,
即,所以為定值且定值為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線,過右焦點(diǎn)F2,且它們的斜率乘積為,設(shè),分別與橢圓交于點(diǎn),和,,的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線和點(diǎn),過點(diǎn)作直線分別交于,兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作直線交于另一點(diǎn),為線段的中點(diǎn),設(shè),的縱坐標(biāo)分別為,.求的最小值;
(2)證明:存在的值,使得恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某公園有三條觀光大道圍成直角三角形,其中直角邊,斜邊.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲,
(1)若甲、乙都以每分鐘100的速度從點(diǎn)出發(fā)在各自的大道上奔走,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后到達(dá),甲到達(dá),求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離;
(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點(diǎn).設(shè),乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍,且,請(qǐng)將甲、乙之間的距離表示為的函數(shù),并求甲、乙之間的最小距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù),且恒成立.
(1)求實(shí)數(shù)的集合;
(2)當(dāng)時(shí),判斷圖象與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明.
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖在三棱柱中,為邊的中點(diǎn),.
(1)證明:平面;
(2)若,為中點(diǎn)且,,,求平面與平面所成二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為,過點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線的弦長(zhǎng)為2.
(1)求拋物線的方程;
(2)點(diǎn)和點(diǎn)為兩定點(diǎn),點(diǎn)和點(diǎn)為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),線段的中點(diǎn)在直線上,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公園有一塊邊長(zhǎng)為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域,用來(lái)種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點(diǎn)D,E分別在邊,上);再取的中點(diǎn)M,建造直道(如圖).設(shè),,(單位:百米).
(1)分別求,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試確定點(diǎn)D的位置,使兩條直道的長(zhǎng)度之和最小,并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且n、、成等差數(shù)列,.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列,求的值.
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