Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1= ，M為BC的中點，P為側棱BB1上的動點．
（1）求證：平面APM⊥平面BB1C1C；
（2）試判斷直線BC1與AP是否能夠垂直．若能垂直，求PB的長；若不能垂直，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，

AB=AC=2，AA1= ，M為BC的中點，P為側棱BB1上的動點．

∴AM⊥BC，AM⊥BB1，

∵BC∩BB1=B，∴AM⊥平面BB1C1C，

∵AM平面APM，

∴平面APM⊥平面BB1C1C

（2）解：以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，

B（0，2，0），C1（2，0， ），A（0，0，0），設BP=t，（0 ），

則P（0，2，t），

=（2，﹣2， ）， =（0，2，t），

若直線BC1與AP能垂直，則 ，

解得t= ，

∵t= ＞BB1= ，

∴直線BC1與AP不能垂直．

【解析】（1）推導出AM⊥BC，AM⊥BB1，由此能證明平面APM⊥平面BB1C1C．（2）以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法推導出直線BC1與AP不能垂直．