Question

如圖，P（x₀，f（x₀））是函數(shù)y=f（x）圖象上一點(diǎn)，曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線交x軸于點(diǎn)A，PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB的面積為

1

2

，則 f′（x₀）與f（x₀）滿足關(guān)系式（　　）

• A、f′（x₀）=f（x₀）
• B、f′（x₀）=[f（x₀）]²
• C、f′（x₀）=-f（x₀）
• D、[f′（x₀）]²=f（x₀）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f'（x₀）為曲線y=f（x）在x=x₀處切線的斜率，寫出切線方程，令y=0，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出AB，PB長，運(yùn)用三角形的面積公式，化簡即可．

解答：解：設(shè)A的坐標(biāo)為（a，0），
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：
f'（x₀）為曲線y=f（x）在x=x₀處切線的斜率，
故P點(diǎn)處的切線方程為y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），
令y=0，則0-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），
即x=x₀-

f(x0)

f′(x0)

，即a=x₀-

f(x0)

f′(x0)

，
又△PAB的面積為

1

2

，
∴

1

2

AB•PB=

1

2

，即（x₀-a）•f（x₀）=1，
∴

f(x0)

f′(x0)

•f（x₀）=1即f'（x₀）=[f（x₀）]²，
故選B．

點(diǎn)評：本題是導(dǎo)數(shù)的一個應(yīng)用：求切線方程，關(guān)鍵是先確定切點(diǎn)，其次是切線的斜率，同時考查基本的運(yùn)算化簡能力，是一道基礎(chǔ)題．