Question

已知f（x）=（

1

2

）^|x|，定義函數(shù)：g（x）=

f(x)，f(x)≤ 1 2 1 2 ，f(x)＞ 1 2

（1）畫(huà)出函數(shù)g（x）的圖象并寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)t∈R，若關(guān)于t的方程g（t）=-a²+4a-3有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若m∈R，且f（mx-1）＞（

1

2

）^x對(duì)x∈[2，3]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象作出函數(shù)g（x）的圖象并寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知g（t）的范圍，求解不等式0＜-a2+4a-3≤

1

2

得答案；
（3）求出（

1

2

）^x在x∈[2，3]上的范圍，然后分m＜0和m≥0把f（mx-1）＞（

1

2

）^x對(duì)x∈[2，3]恒成立轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式，求出m的范圍，取并集后得答案．

解答： 解：（1）f（x）=（

1

2

）^|x|，則函數(shù)g（x）=

f(x)，f(x)≤ 1 2 1 2 ，f(x)＞ 1 2

的圖象如圖，

增區(qū)間（-∞，-1），減區(qū)間（1，+∞）；
（2）由（1）知，函數(shù)g（t）的值域?yàn)椋?，

1

2

]，
由0＜-a2+4a-3≤

1

2

，解得1＜a≤

4- 2

2

或

4+ 2

2

≤a＜3．
（3）當(dāng)x∈[2，3]，(

1

2

)x∈[

1

8

，

1

4

]，
要使f（mx-1）＞（

1

2

）^x對(duì)x∈[2，3]恒成立，
則當(dāng)m＜0時(shí)，(

1

2

)|mx-1|＞

1

4

，得|mx-1|＜2，
解得-

1

x

＜m＜0，
∴-

1

2

＜m＜0；
當(dāng)m≥0時(shí)，(

1

2

)|mx-1|＞

1

8

，得|mx-1|＜3，
解得0≤m＜

4

x

，
∴0≤m＜

4

3

．
綜上，m的取值范圍是-

1

2

＜m＜

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．