【題目】如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,PA⊥平面ABCDMAD的中點,NPC的中點.

1)求證:MN∥平面PAB;

2)若平面PMC⊥平面PAD,求證:CMAD;

3)若平面ABCD是矩形,PA=AB,求證:平面PMC⊥平面PBC

【答案】1)見解析(2)見解析(3)見解析

【解析】

1)取PB的中點E,連接ENAE,證明MNAE,即證MN∥平面PAB;(2)假設(shè)CMAD不垂直,在平面ABCD內(nèi)過MAD的垂線,交BCQ,連接PQ,MQ,證明平面PMQ⊥平面PAD,顯然這與平面PMC⊥平面PAD矛盾.故原題得證;(3)先證明MN⊥平面PBC,即證平面PMC⊥平面PBC

證明:(1)取PB的中點E,連接EN,AE

EN分別是PB,PC的中點,∴ENBCENBC,

MAD的中點,四邊形ABCD是平行四邊形,

AMBC ,AMBC,

ENAMENAM,∴四邊形AMNE是平行四邊形,

MNAE,

MN平面PAB,AE平面PAB,

MN∥平面PAB

2)假設(shè)CMAD不垂直,在平面ABCD內(nèi)過MAD的垂線,交BCQ,連接PQ,MQ,

PA⊥平面ABCDMQ平面ABCD,

PAMQ,又ADMQ,PAAD=A,

MQ⊥平面PAD,又MQ平面PMQ

∴平面PMQ⊥平面PAD,

顯然這與平面PMC⊥平面PAD矛盾.

故假設(shè)不成立,∴CMAD

3)∵四邊形ABCD是矩形,∴ADAB,

PA⊥平面ABCD,AD平面ABCD

PAAD,又PAAB=A

AD⊥平面PAB,∴ADAE,

由(1)可知四邊形AMNE是平行四邊形,

∴四邊形AMNE是矩形,

MNEN,

AM=MD,PA=AB=CD,∠PAM=MDC=90°,

∴△PMA≌△CMD

PM=CM,又NPC的中點,

MNPC,

PCEN=N,PC平面PBC,EN平面PBC,

MN⊥平面PBC,又MN平面PMC,

∴平面PMC⊥平面PBC

練習(xí)冊系列答案
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關(guān)注

不關(guān)注

合計

青少年

15

中老年

合計

50

50

100

(1)根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為關(guān)注“一帶一路”是否和年齡段有關(guān)?

(2)現(xiàn)從抽取的青少年中采用分層抽樣的辦法選取9人進(jìn)行問卷調(diào)查.在這9人中再選取3人進(jìn)行面對面詢問,記選取的3人中關(guān)注“一帶一路”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:參考公式,其中

臨界值表:

0.05

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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組號

分組

頻數(shù)

頻率

第一組

第二組

第三組

第四

第五組

合計

(1)、、值;

(2)若從第三、四、五中用分層抽樣方法抽取學(xué)生,在這學(xué)生中隨機(jī)抽取學(xué)生與張老師面談,求第三組中至少有學(xué)生與張老師面談的概率

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