Question

已知直角三角形ABC的斜邊長(zhǎng)AB=2，現(xiàn)以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得旋轉(zhuǎn)體．
（1）當(dāng)∠A=30°時(shí)，求此旋轉(zhuǎn)體的體積；
（2）比較當(dāng)∠A=30°、∠A=45°時(shí)，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體表面積的大�。�

Answer 1

分析：（1）直角三角形ABC的斜邊長(zhǎng)AB=2，現(xiàn)以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得旋轉(zhuǎn)體，是由兩個(gè)圓錐組成的幾何體，求出圓錐的底面半徑，即可求出幾何體的體積．
（2）只需比較兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的底面半徑和高的大小，分別求出當(dāng)∠A=30°、∠A=45°時(shí)，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體表面積的大�。�即可比較．

解答：解：（1）直角三角形ABC的斜邊長(zhǎng)AB=2，現(xiàn)以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得旋轉(zhuǎn)體，是由兩個(gè)圓錐組成的幾何體，它們的底面半徑為：

3

2

，所以旋轉(zhuǎn)體的體積為：

1

3

×π(

3

2

)2×2=

π

2

；
（2）由（1）可知幾何體的表面積為：

1

2

×

3

π×(1+

3

)=

3+ 3

2

π．
∠A=45°時(shí)，旋轉(zhuǎn)體表面積的大小為：

1

2

×2π×(2

2

)=2

2

π；
顯然2

2

π＞

3+ 3

2

π
所以∠A=45°時(shí)，旋轉(zhuǎn)體表面積的大．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查旋轉(zhuǎn)體的體積，旋轉(zhuǎn)體的圖形特征，圓錐的表面積和體積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是�？碱}型．