數(shù)列{an}的前n項和記作Sn，滿足Sn=2an+3n-12  （n∈N*）．
（1）求出數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn=
an
(Sn-3n)(an+1-6) 
，求證：b1+b2+…+bn＜
1
6
；
（3）若cn=
an-3
3n
，且
1
c1
+
1
c2
+…+
1
cn
＜loga（6-a）對所有的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）由Sn=2an+3n-12可得Sn-1=2an-1+3（n-1）-12  （n≥2），兩式相減化簡可得an-3=2（an-1-3），從而可求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）bn=
an
(Sn-3n)(an+1-6) 
=
1
6
(
1
2n-1
-
1
2n+1-1
)，從而b1+b2+…+bn=
1
6
(
1
21-1
-
1
22-1
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1-1
)化簡可證
（3）cn=
an-3
3n
=
2n
n
，令Tn=
1
c1
+ 
1
c2
++…+
1
cn
   再寫一式錯位相減可知Tn=2-
n+2
2n
，從而Tn＜2故問題可轉(zhuǎn)化為loga（6-a）≤2，進而問題得解．
解答：解：（1）Sn=2an+3n-12，Sn-1=2an-1+3（n-1）-12  （n≥2）
作差化簡得到an-2an-1+3=0，所以an-3=2（an-1-3）且a1=9，
所以an-3=6•2n-1，所以an=3•2n+3
（2）bn=
an
(Sn-3n)(an+1-6) 
=
1
6
(
1
2n-1
-
1
2n+1-1
)，∴b1+b2+…+bn=
1
6
(
1
21-1
-
1
22-1
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1-1
)=
1
6
(
1
21-1
-
1
2n+1-1
)＜
1
6

（3）cn=
an-3
3n
=
2n
n
，令Tn=
1
c1
+
1
c2
+…+
1
cn

錯位相減得 Tn=2-
n+2
2n
，∴Tn＜2  
∵
1
c1
+
1
c2
+…+
1
cn
＜loga（6-a）對所有的正整數(shù)n恒成立，∴l(xiāng)oga（6-a）≤2
當0＜a＜1時，6-a≤a2，∴a≥2或a≤-3
當1＜a＜6時，6-a≥a2，∴-3≤a≤2
綜上，1≤a≤2．
點評：本題考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項、裂項求和，同時考查恒成立問題的處理，解題時要認真審題，仔細解答，注意問題的等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等比數(shù)列{an}的公比q≠1，Sn表示數(shù)列{an}的前n項的和，Tn表示數(shù)列{an}的前n項的乘積，Tn（k）表示{an}的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），則數(shù)列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n項的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}的通項an=
1
pn-q
，實數(shù)p，q滿足p＞q＞0且p＞1，sn為數(shù)列{an}的前n項和．
（1）求證：當n≥2時，pan＜an-1；
（2）求證sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求證sn＜
2
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2an+bn，求數(shù)列{bn}的通項公式bn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•商丘二模）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下運算和結(jié)論：
①a24=
3
8
；
②數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比數(shù)列；
③數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n項和為Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整數(shù)k，使Sk＜10，Sk+1≥10，則ak=
5
7
．
其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
．（將你認為正確的結(jié)論序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：
①若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=
6
，b=4，那么滿足條件的△ABC有兩解；
③設函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a2+b2=0；
④設直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中真命題的序號是
③
③
．

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