Question

【題目】三棱柱中，平面平面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角為，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）可證面，從而可得.

（2）可證點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，再過(guò)作于，過(guò)作，垂足為，則為二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量來(lái)計(jì)算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.

證明：（1）因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，

所以平面，而平面，故，

又因?yàn)?/span>，所以，則，

又，故面，又面，所以.

（2）由（1）可得：面在面內(nèi)的射影為，

則為直線與平面所成的角，即.

因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，

即點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn).

解法一：過(guò)作于，則平面，

所以，過(guò)作，垂足為，

則為二面角的平面角,

因?yàn)?/span>，，，

則在中，有，

所以二面角的平面角的正切值為.

解法二：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

設(shè)點(diǎn)，由得：，

即，，，點(diǎn)，

平面的一個(gè)法向量，

又，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，令，則平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)二面角的平面角為，則，

即，所以二面角的正切值為.