Question

P（x，y）（x≠±a）是雙曲線E：上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)P（x，y）（x≠±a）是雙曲線E：上一點(diǎn)，代入雙曲線的方程，M，N分別是雙曲線E的左右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為，求出直線PM，PN的斜率，然后整體代換，消去x，y，再由c²=a²+b²，即可求得雙曲線的離心率；
（2）根據(jù)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線，寫出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，及A，B，C為雙曲線上的點(diǎn)，注意整體代換，并代入，即可求得λ的值．
解答：解：（1）∵P（x，y）（x≠±a）是雙曲線E：上一點(diǎn)，
∴，
由題意又有，
可得a²=5b²，c²=a²+b²，
則e=，
（2）聯(lián)立，得4x²-10cx+35b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，x₁•x₂=，
設(shè)=（x₃，y₃），，
即
又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x₃²-5y₃²=5b²，
有（λx₁+x₂）²-5（λy₁+y₂）²=5b²，
化簡得：λ²（x₁²-5y₁²）+（x₂²-5y₂²）+2λ（x₁x₂-5y₁y₂）=5b²，
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在雙曲線上，所以x₁²-5y₁²=5b²，x₂²-5y₂²=5b²，
而x₁x₂-5y₁y₂=x₁x₂-5（x₁-c）（x₂-c）=-4x₁x₂+5c（x₁+x₂）-5c²=10b²，
得λ²+4λ=0，解得λ=0或-4．
點(diǎn)評：此題是個難題．本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．其中問題（2）考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，