Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+kln（x+2），其中k≠0
（Ⅰ）當(dāng)k＞2判斷f（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)性．
（Ⅱ）討論 f（x）的極值點．

Answer 1

解：由題設(shè)函數(shù)f（x）定義域是（-2，+∞），…（1分）
函數(shù)…①…（2分）
（Ⅰ）當(dāng)k＞2時，①式的△=16-8k=8（2-k）＜0，∴2x²+4x+k＞0，又x+2＞0，
∴…（4分）
∴f（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)遞增． …（5分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)k≥2時，由（Ⅰ）知，
∴f（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)遞增，故f（x）無極值點．…（7分）
（2）當(dāng)k＜2時，由2x²+4x+k=0解得，此時f′（x）=0（8）
當(dāng)或時，2x²+4x+k＞0
當(dāng)時，2x²+4x+k＜0…（8分）
1°當(dāng)k≤0時，，時，，，，
∴f（x）在上單減，在上單增，
∴為極小值點，無極大值點．…（10分）
2°當(dāng)0＜k＜2時，，
當(dāng)或時，時，
∴f（x）在上單減，在和上單增，∴為極大值點，為極小值點．…（12分）
綜上，k≤0時，為極小值點，無極大值點；0＜k＜2時，為極大值點，為極小值點；k≥2時，f（x）無極值點．　　　　　　　　　　　　　　…（14分）
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）定義域，求導(dǎo)函數(shù)，判斷其符號，可得f（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）分類討論：（1）當(dāng)k≥2時，由（Ⅰ）知f（x）無極值點；（2）當(dāng)k＜2時，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值點．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，恰當(dāng)分類，屬于中檔題．