Question

18．已知命題p：方程x²-2mx+7m-10=0無解，命題q：x∈（0，+∞），x²-mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命題，且￢（p∧q）也是真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 由p∨q是真命題，且￢（p∧q）也是真命題得：p與q為一真一假；分別求出命題p，q為真假時參數m的范圍，可得答案．

解答 解：當命題p為真時，有：△=（-2m）²-4（7m-10）＜0，
解得：2＜m＜5；（3分）
當命題q為真時，有：m≤$\frac{{x}^{2}+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$，對x∈（0，+∞）恒成立，
即m≤（x+$\frac{4}{x}$）_min，
而x∈（0，+∞）時，（x+$\frac{4}{x}$）_min=4，當x=2時取等號．
即m≤4．（7分）
由p∨q是真命題，且￢（p∧q）也是真命題得：p與q為一真一假；（9分）
當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}2＜m＜5\\ m＞4\end{array}\right.$，即4＜m＜5；
當p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}m≤2，或m≥5\\ m≤4\end{array}\right.$，即m≤2或m≥5，（11分）
綜上，所求m的取值范圍是（-∞，2]∪（4，5）．（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，方程根的個數判斷，函數恒成立等知識點，難度中檔．