Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為線段CD中點．
（1）求直線B₁E與直線AD₁所成的角的余弦值；
（2）若AB=2，求二面角A-B1E-

A

_

1的大小；
（3）在棱AA₁上是否存在一點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由題意及所給的圖形，分別以AB，AD，AA₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)AB=a，給出圖形中各點的坐標，可求出向量

AD1

、

B1E

的坐標，驗證其數(shù)量積為0即可得出結(jié)論；
（2）由題設(shè)條件，可求夾二面角的兩個平面的法向量，可得兩平面的夾角的余弦，即可求二面角A-B1E-

A

_

1的大��；
（3）由題意，可先假設(shè)在棱AA₁上存在一點P（0，0，z₀），使得DP∥平面B₁AE，求出平面B₁AE法向量，利用法向量與直線DP的方向向量數(shù)量積為0，由此方程解出z₀的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的t的值，說明不存在這樣的點P滿足題意．

解答： 解：（1）分別以AB，AD，AA₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)AB=a則A（0，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，1），E（

a

2

，1，0），B₁（a，0，1），
∴

AD1

=（0，1，1），

B1E

=（-

a

2

，1，-1），

AB1

=（a，0，1），

AE

=（

a

2

，1，0），
∵

AD1

•

B1E

=1-1=0
∴B₁E⊥AD₁，
∴直線B₁E與直線AD₁所成的角的余弦值為0；
（2）連接A₁D，B₁C，由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁及AA₁=AD=1，得AD₁⊥A₁D．
∵B₁C∥A₁D，∴AD₁⊥B₁C．
由（1）知，B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E=B₁．
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴

AD1

是平面A₁B₁E的一個法向量，此時

AD1

=（0，1，1）
AB=2，設(shè)平面B₁AE的法向量

n

=(x，y，z)，則

AB1

=（2，0，1），

AE

=（1，1，0）
∵

n

⊥平面B₁AE，∴

n

⊥

AB1

，

n

⊥

AE

，
得

2x+z=0 x+y=0

取x=1，使得平面B₁AE的一個法向量

n

=（1，-1，2），
設(shè)

AD1

與

n

所成的角為θ，則
cosθ=

AD1 • n

| AD1 || n |

=-

3

2

∴二面角A-B₁E-A₁的大小為30°；
（3）假設(shè)在棱AA₁上存在一點P（0，0，z₀）使得DP∥平面B₁AE．此時

DP

=(0，-1，z0)
又設(shè)AB的長度為a，平面B₁AE的法向量

n

=(x，y，z)，則

AB1

=(a，0，1)，

AE

=(

a

2

，1，0)
∵

n

⊥平面B₁AE∴

n

⊥

AB1

，

n

⊥

AE

得

ax+z=0 ax 2 +y=0

取x=1，使得平面B₁AE的一個法向量

n

=(1，

-a

2

，-a)
要使DP∥平面B₁AE，只要

n

⊥

DP

，有

a

2

-az0=0，解得z0=

1

2

又DP?平面B₁AE，∴存在點P，滿足DP∥平面B₁AE，此時AP=

1

2

．

點評：本題考查利用空間向量這一工具求二面角，證明線面平行，解題的關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼导翱臻g位置關(guān)系與向量的對應(yīng)．