己知圓C:(x-2)2+y2=9,直線l:x+y=0.
(1)求與圓C相切,且與直線l平行的直線m的方程;
(2)若直線n與圓C有公共點(diǎn),且與直線l垂直,求直線n在y軸上的截距b的取值范圍.
【答案】分析:(1)由兩直線平行時(shí)斜率相等,根據(jù)直線l方程設(shè)所求切線方程為x+y+c=0,由直線與圓相切時(shí),圓心到切線的距離d等于圓的半徑r,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于c的方程,求出方程的解得到c的值,即可確定出直線m的方程;
(2)根據(jù)直線l與所求直線垂直,利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1,設(shè)直線n方程為y=x+b,代入圓的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,由直線l與圓C有公共點(diǎn),得到根的判別式的值大于等于0列出關(guān)于b的不等式,求出不等式的解集即可得到b的范圍.
解答:解:(1)∵直線m∥直線x+y=0,
∴設(shè)m:x+y+c=0,
∵直線m與圓C相切,
∴3=
解得:c=-2±3,
得直線m的方程為:x+y-2+3=0或x+y-2-3=0;
(2)由條件設(shè)直線n的方程為:y=x+b,
代入圓C方程整理得:2x2+2(b-2)x+b2-5=0,
∵直線l與圓C有公共點(diǎn),
∴△=4(b-2)2-8(b2-5)=-4b2-16b+56≥0,即b2+4b-14≤0,
解得:-2-3≤b≤-2+3
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,以及直線與圓相交的性質(zhì),涉及的知識(shí)有:點(diǎn)到直線的距離公式,兩直線平行、垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系,以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,當(dāng)直線與圓相切時(shí),圓心到切線的距離等于圓的半徑,熟練掌握此性質(zhì)是解本題第一問的關(guān)鍵.
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