Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，求出符合條件的實(shí)數(shù)a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有兩解，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）•f（x），試求函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

（1）∵函數(shù)f（x）=|x-a|為偶函數(shù)，
∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f（-x）=f（x）成立
即|-x-a|=|x-a|，
∴x+a=x-a恒成立，或x+a=a-x恒成立
∵x+a=a-x不能恒成立
∴x+a=x-a恒成立，得a=0．…（4分）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，|x-a|-ax=0有兩解，
等價(jià)于方程（x-a）²-a²x²=0在（0，+∞）上有兩解，
即（a²-1）x²+2ax-a²=0在（0，+∞）上有兩解，…（6分）
令h（x）=（a²-1）x²+2ax-a²，
因?yàn)閔（0）=-a²＜0，所以

a2-1＜0 a 1-a2 ＞0 △=4a2+4a2(a2-1)＞0

，故0＜a＜1；…（8分）
同理，當(dāng)a＜0時(shí)，得到-1＜a＜0；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x|=0=g（x），顯然不合題意，舍去．
綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）．…（10分）
（3）令F（x）=f（x）•g（x）
①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，則F（x）=a（x²-ax），
對(duì)稱軸x=

a

2

∈(0，

1

2

]，函數(shù)在[1，2]上是增函數(shù)，
所以此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為4a-2a²．
②當(dāng)1＜a≤2時(shí)，F(x)=

-a(x2-ax)，1＜x≤a a(x2-ax)，a＜x≤2

，對(duì)稱軸x=

a

2

∈(

1

2

，1]，
所以函數(shù)y=F（x）在（1，a]上是減函數(shù)，在[a，2]上是增函數(shù)，F(xiàn)（1）=a²-a，F(xiàn)（2）=4a-2a²，
1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜

5

3

，此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為4a-2a²；
2）若F（1）≥F（2），即

5

3

≤a≤2，此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為a²-a．
③當(dāng)2＜a≤4時(shí)，F(xiàn)（x）=-a（x²-ax）對(duì)稱軸x=

a

2

∈(1，2]，
此時(shí)F(x)max=F(

a

2

)=

a3

4

，
④當(dāng)a＞4時(shí)，對(duì)稱軸x=

a

2

∈(2，+∞)，此時(shí)F(x)max=F(2)=2a2-4a．
綜上可知，函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值[F(x)]max=

4a-2a2，0＜a＜ 5 3 a2-a， 5 3 ≤a≤2 a3 4 ，2＜a≤4 2a2-4a，a＞4.

…（16分）