Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(1，cos2x)，

b

=(1+sin2x，

3

)，x∈R，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間及對稱軸方程；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式與三角恒等變換公式，化簡得f(x)=

a

•

b

=2sin（2x+

π

3

）+1，再由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式與對稱軸方程的公式加以計算，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間及對稱軸方程；
（2）由（1）求出的f（x）的表達(dá)式，解不等式f（x）≥0得sin（2x+

π

3

）≥-

1

2

，再利用正弦函數(shù)的圖象，可得-

π

6

+2kπ≤2x+

π

3

≤

7π

6

+2kπ（k∈Z），即可解出使f（x）≥0成立的x的取值范圍．

解答：解：（1）∵

a

=(1，cos2x)，

b

=(1+sin2x，

3

)，
∴f(x)=

a

•

b

=1+sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）+1，
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z），
因此，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）．
令2x+

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z），得x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程是x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）．
（2）若f（x）≥0，則2sin（2x+

π

3

）+1≥0，解得sin（2x+

π

3

）≥-

1

2

，
∴-

π

6

+2kπ≤2x+

π

3

≤

7π

6

+2kπ（k∈Z），得-

π

4

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z），
∴使f（x）≥0成立的x的取值范圍為[-

π

4

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z）．

點評：本題給出向量

a

、

b

的坐標(biāo)，求函數(shù)f(x)=

a

•

b

的單調(diào)區(qū)間與圖象的對稱軸方程．著重考查了向量數(shù)量積公式、三角恒等變換公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．