如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（1）求證平面AEC⊥平面PDB；
（2）當PD=
3
AB，且E為PB中點時，求AE與平面PDB所成角的正切值．
考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（1）要證明面面垂直首先要通過線面垂直來進行轉化，然后找到線面垂直的充分條件即可．
（2）要求直線與平面的夾角，可以在線上找到一點作面的垂線，然后通過解三角形知識求解．
解答： 證明：如圖所示：

連接AC，BD交于O，ABCD的底面是正方形，
∴AC⊥BD，
∵四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面ACE，
∴平面AEC⊥平面PDB；
（2）由于E為PB中點，連接OE，
由（1）得OE⊥AC，OE⊥BD，
∴∠EAC就是AE與平面PDB所成角，
設AB=1  PD=
3
AB，
PD=
3
，
∴AC=
2
  AO=
2
2
  OE=
3
2
，
在Rt△AOE中，tan∠AEO=
2
2
3
2
=
6
3
，
AE與平面PDB所成角的正切值為
6
3
．
點評：本題考查的知識點：直線與平面垂直的性質定理，直線與平面垂直的判定定理，直線與平面的夾角，解直角三角形知識，是高考的重點題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線ρcosθ=2關于直線θ=
π
4
對稱的直線方程為（　�。�
A、ρcosθ=-2
B、ρsinθ=2
C、ρsinθ=-2
D、ρ=2sinθ

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lg（2sinxcosx），
（1）求它的定義域；
（2）判斷該函數(shù)是否具有奇偶性，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
m
=（-x+lnx，1），
n
=（a，-3）（a∈R且a≠0），函數(shù)f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的斜率為l，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x3+x2[
m
2
+f′（x）]在區(qū)間（t，3）上總存在極值？
（3）當a=2時，設函數(shù)h（x）=（p-2）x-
p+2e
x
-3，若在區(qū)間[1，e]上至少存在一個x0，使得h（x0）＞f（x0）成立，試求實數(shù)p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=sin（-2x+
π
3
）．
（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（2）當y取最小值時x的取值集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c＞0，a+b+c=1，求證：（a+
1
a
）（b+
1
b
）（c+
1
c
）≥
1000
27
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-（c+1）x+c（c∈R）．
（1）解關于x的不等式f（x）＜0；
（2）當c=-2時，不等式f（x）＞ax-5在（0，2）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+xln|x+b|是奇函數(shù)，且圖象在點（e，f（e））（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜
f(x)
x-1
對任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）當n＞m＞1（n，m∈Z）時，證明：（mnn）m＞（nmm）n．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

作出函數(shù)y=loga（-x）與y=-ax（a＞0，a≠1）在同一坐標系中的圖象．

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