精英家教網(wǎng)如圖所示,P是拋物線C:y=
12
x2上一點,直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直,l與拋物線C相交于另一點Q,當點P在拋物線C上移動時,求線段PQ的中點M的軌跡方程,并求點M到x軸的最短距離.
分析:設(shè)出P的坐標,過點P的切線斜率k=x0,求出直線l的方程,設(shè)出Q、M坐標,利用中點坐標公式,求出m的軌跡方程,再用基本不等式求出點M到x軸的最短距離.
解答:精英家教網(wǎng)解:設(shè)P(x0,y0),則y0=
1
2
x02
,
∴過點P的切線斜率k=x0
當x0=0時不合題意,∴x0≠0.
∴直線l的斜率kl=-
1
k
=-
1
x0
,
∴直線l的方程為y-
1
2
x02 =-
1
x0
(x-x0)

此式與y=
1
2
x 2
聯(lián)立消去y得
x2+
2
x0
x- 
1
2
x02 -2=0

設(shè)Q(x1,y1),M(x,y).
∵M是PQ的中點,
x=
x0+x1
2
=-
1
x0
y=-
1
x0
(-
1
x0
-x0)+
1
2
x02 =
1
x
2
0
+
x
2
0
2
+1  

消去x0,得y=x2+
1
2x2
+1(x≠0)就是所求的軌跡方程.
由x≠0知x2>0,
∴y=x2+
1
2x2
+1≥2
x2
1
2x2
 
+1=
2
+1

上式等號僅當x2=
1
2x2
,即x=±
4
1
2
時成立,
所以點M到x軸的最短距離是
2
+1.
點評:本題考查直線的斜率,軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合問題,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求圓C2的圓心M到拋物線C1準線的距離;

(2)是否存在點P,使線段AB被拋物線C1在點P處的切線平分?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

 

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(1)當點P的橫坐標為2時,求直線的方程;

(2)當點P在拋物線C上移動時,求線段PQ中點M的軌跡方程,并求點M到軸的最短距離.

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