Question

某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可以繼續(xù)參加科目B的考試．每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得該項合格證書，現在某同學將要參加這項考試，已知他每次考科目A成績合格的概率均為

2

3

，每次考科目B成績合格的概率均為

1

2

．假設他在這項考試中不放棄所有的考試機會，且每次的考試成績互不影響，記他參加考試的次數為X．
（1）求X的分布列和均值；
（2）求該同學在這項考試中獲得合格證書的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知X的可能取值是2，3，4，結合變量對應的事件，每次的考試成績互不影響，知道這是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，再根據互斥事件的概率，得到變量對應的概率，寫出分布列和期望．
（2）該同學在這項考試中獲得合格證書，包括四種情況，這四種情況是互斥的，根據互斥事件的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，得到結果．

解答：解：（1）設該同學“第一次考科目A成績合格”為事件A₁，
“科目A補考后成績合格”為事件A₂，“第一次考科目B成績合格”為事件B₁，
“科目B補考后成績合格”為事件B₂
由題意知，X可能取得的值為：2，3，4

P(X=2)=P(A1B1)+P( . A1 . A2 ) = 2 3 × 1 2 + 1 3 × 1 3 = 4 9 . P(X=3)=P(A1 . B1 B2)+P(A1 . B1 . B2 )+P( . A1 A2B1) = 2 3 × 1 2 × 1 2 + 2 3 × 1 2 × 1 2 + 1 3 × 2 3 × 1 2 = 4 9 . P(X=4)=P( . A1 A2 . B1 B2)+P( . A1 A2 . B1 . B2 )

=

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

9

∴X的分布列為：

X	2	3	4
P	4 9	4 9	1 9

∴EX=2×

4

9

+3×

4

9

+4×

1

9

=

8

3

（2）設“該同學在這項考試中獲得合格證書”為事件C
則P(C)=P(A1B1)+P(A1

.

B1

B2)+P(

.

A1

A2B1)+P(

.

A1

A2

.

B1

B2)=

2

3

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

=

2

3

故該同學在這項考試中獲得合格證書的概率為

2

3

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率，考查對立事件，本題是一個綜合題目，運算過程中數字比較多，注意不要漏乘．