Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對于任意n∈N*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

a 2 n

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：Tn＞

n

n+1

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，整理得a_n-a_n-1=1（n≥2）進(jìn)而可判斷出數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．
（2）由（1）知bn=

1

n2

，因?yàn)?span id="q7lasph" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，所以bn＞

1

n

-

1

n+1

，從而得證．

解答：解：（1）由已知：對于n∈N^*，總有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2Sn-1=an-1+an-1 2（n≥2）②
①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列
又n=1時，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1，∴a_n=n．（n∈N^*）
（2）解：由（1）可知bn=

1

n2

∵

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn＞(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查放縮法．從而綜合考查了學(xué)生分析問題的能力．