Question

【題目】設集合表示具有下列性質的函數的集合：①的定義域為；②對任意，都有

（1）若函數，證明是奇函數；并當，，求，的值；

（2）設函數（a為常數）是奇函數，判斷是否屬于，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若，討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）見解析，，

（2），證明見解析

（3）或時，3個零點；或時，1個零點；時，5個零點.

【解析】

（1）利用賦值法和奇函數的定義證明函數是奇函數，由題得的方程組，解方程組即得解；（2）先求出a的值，再利用的定義證明；（3）令h(x)=t,則h(t)=2，再分類討論數形結合分析得解.

（1）令得.

令，，所以函數是奇函數.

,

解上面關于的方程組得，.

（2）因為函數（a為常數）是奇函數，

所以.滿足函數g(x)是奇函數.

設，所以，

因為，

所以.

（3）令.

令h(x)=t,則h(t)=2，

所以函數

當k=0時，，則，此時只有一個解，一個零點；

當時，只有一個，對應三個零點；

當時，，此時，

，

所以在，，三個t各對應一個零點，共三個零點；

當，，三個t各對應一個，一個，三個零點，共五個零點；

當時，h(t)=2只有一個解，，對應一個零點.

綜合得或時，3個零點；或時，1個零點；時，5個零點.