Question

4．已知x與a滿足關系式（2-a）e^a=x（2+a），如果x∈[0，1），那么函數f（x）=$\frac{{{a^2}{e^a}}}{{{e^a}-（a+1）x}}$的值域是（2，4]．

Answer 1

分析 由題意：x∈[0，1），x與a滿足關系式（2-a）e^a=x（2+a），求解a的值，化簡f（x）可得其值域．

解答 解：由題意：x∈[0，1），x與a滿足關系式（2-a）e^a=x（2+a），
則x=$\frac{（2-a）{e}^{a}}{2+a}$，
①當x=0時，可得：（2-a）•e^a=0，
解得：a=2．
那么：函數f（x）=$\frac{{{a^2}{e^a}}}{{{e^a}-（a+1）x}}$=$\frac{4{e}^{2}}{{e}^{2}-3x}$=a²=4．
②當x≠0時，可得：${e}^{a}=\frac{x（2+a）}{2-a}$，此時函數f（x）=$\frac{{a}^{2}}{1-\frac{（a+1）x}{{e}^{a}}}$=$\frac{{a}^{2}}{1-（a+1）x•\frac{2-a}{x（2+a）}}=a+2$
令a+2=t，則（4-t）e^t-2=x•t，且a≠0，可得t≠2．
得：x=$\frac{4-t}{t}•{e}^{t-2}$，
∵x∈（0，1），e^t-2＞0，
∴$\frac{4-t}{t}＞0$，
解得：0＜t＜4，
令f（t）=$\frac{4-t}{t}•{e}^{t-2}$，
則f′（t）=-$\frac{{e}^{t}（t-2）^{2}}{（et）^{2}}$在t∈（0，4）恒小于0．
∴f（t）在t∈（0，4）上單調遞減
由于x=f（t）∈（0，1），
當t=2時，f（t）=1，當t=4時，f（t）=0，
則2＜t＜4，即此時f（x）的值域為（2，4）．
綜上可得：函數f（x）=$\frac{{{a^2}{e^a}}}{{{e^a}-（a+1）x}}$的值域是（2，4]．
故答案為（2，4]．

點評 本題考查了導函數研究值域的方法，利用其單調性和轉化思想，分類討論，構造新的函數求其值域來達到解決原函數的值域問題．屬于難題．